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:已知B,B:是椭圆二+芳-1(a>6>0)短轴上的两个预点，点P是精圆上不同于复辅端点的任意一点，点Q与点P关于y轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是的斜率之积为定值-，②PB·PB>0:③△PB,B:的外接圆半径④直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线.【答案】②③【解折]①设P(,B0,-6).B,（06,则号+-1，则%m,-._-x3,所以①不正确；②因为点P在圆x2十y2=b2外，所以x日十y-b2>0,所以PB1·PB2=(一x0,-by0)(一xo,b一y0)=x十y一b2>0,所以②正确；③当点P在长轴的顶，点上时，∠B1PB2最小且为锐角，设△PB1B2的外接圆半径为r,一个长轴顶点为A,由正弦定理可得2r=2626sin∠B1PB,≤sin∠B1AB22626at6sin2∠0AB2=2ab,所以r≤a十62.6,所以△PB1B:的外接圆半径的最大值为2么，所以③正确；a2+b2⑧直线PB,的方程为y+6-十，直线QB,的方程为)b-。x,两式相乘可得y2-b-y好-xx,化-=1,因为点P不与B1,B,重合，所以点M的轨迹为双由线的一事分，所以④无三、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(20分)已知精圆C的标准方程为后+若=1。>6>0》，有焦点为F,高心本为站相圆C上一点为1，)，直线AB的方程为y=kx十1(k≠0)，交椭圆C于A,B两点，M为AB中点(1)求椭圆C的方程；(2)过F且与AB垂直的直线与直线OM交于点P,过点O作一条与AB行的直线l,过F作与MO垂直的直线m,设l∩m=Q,证明：直线PQ⊥x轴.层+8-1，1(1)解：依题意得解得口=4，√a2-b21b2=3,a2’所以猫圈C的方程为行+-1.3(2)证明：将椭圆C的方程+少4+3=1与直线AB的方程y=kx十1联立，消去y得，(3+4k2)x2+8kx-8=0,△>0，设A(x1,y1),B(x2,y2),8k8得x1十x2=3十4k71x2=一3+4k设M2,所以-专-3经9=十14k3十4k2,所以直线M0的斜率为空=-员M0的方程为y=一3F的坐标为(1,0)，过F且与AB垂直的直线方程为y=一(x-1),由y=名(：-1D与y=联立，消去y得，点P的横坐标为4，4k直线m的方程为y=3(x-1),·59·

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