湖南省2024届高三九校联盟第二次联考文数答案-2024届全国大联考答案网

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20.(12分)已知函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx,a>0.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)当a=1时，证明：对任意的x>0,f(x)+e>x2+x十2.(1)解：f(x)的定义域为(0，十∞)，f'(x)=2x-(a-2)-&=x+1)(2x-a)(2分)x令f(x)>0,得x>号令f(x)<0,得0x<号所以函数y=f(x)的单调递减区间为(0，)单调递增区间为（受十）(4分)(2)证明：因为a=1,所以f(x)=x2+x-lnx(x>0),证明对任意的x>0,f(x)十e>x2+x十2，即证e-lnx-2>0恒成立，令g(x)=e2-lnx-2,x∈(0，+∞)，即证g(x)min>0恒成立，(6分)8'(x)=e2-1，8'(x)为增函数，g(2）<0,g'a≥0，所以3x∈（合l使g(x)=0成立，即e-1=0,则当0x0时，g'(x)>0,所以y=g(x)在区间(0，xo)上单调递减，在区间(xo,十∞)上单调递增，所以g(x)min=g(xo)=e0-lnxo-2.(8分)又因为ew-1=0,即e0=1,1xoxo所以g(xo)=eo-lnxo-2=eo十ln1-2=1+。-2,又因为∈（合，所以>+>2，所以g(xo)>0,即对任意的x>0,f(x)十e>x2+x+2.(12分)21.(12分)已知函数fr)=x2_21nz-a.x(1)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,证明：x1x2<1.0解e)≥0甲a≤(2）(2分)令F(x)=x221n工，则F'(x)=2x-2-21nx-2(x+lnx-1Dxx2(3分)令p(x)=x3十lnx一1，显然p(x)在区间(0，十∞)上为增函数，注意到p(1)=0,(4分)当01时，p(x)>0,F'(x)>0,F(x)为增函数，·45·

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